Tích Phân Toán Cao Cấp

BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂNMục tiêu• Nắm được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng.

Bạn đang xem: Tích phân toán cao cấp

• Làm được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.

Bài 3: Phép tính tích phân BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Mục tiêu • Nắm được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • Làm được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.Thời lượng Nội dung • Bài này giới thiệu với các bạn các khái niệm tíchBạn nên dành mỗi tuần khoảng 90phút để đọc kỹ lý thuyết và khoảng phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy120 phút trong vòng hai tuần để rộng và các phương pháp tính các loại tích phânlàm bài tập để nắm vững nội dung này.bài học này. • Phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích, có nhiều ứng dụng trong bài toán kỹ thuật, kinh tế…Hướng dẫn học• Bạn nên đọc kỹ lý thuyết để nắm được các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định và các loại tích phân suy rộng.• Bạn nên làm càng nhiều bài tập càng tốt để thành thạo phuơng pháp tính các loại tích phân đó. 43 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1. Tích phân bất định3.1.1. Khái niệm về tích phân bất định3.1.1.1. Nguyên hàm Bài này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f (x) thì có tồn tại hay không một hàm số F(x) có đạo hàm bằng f (x) ? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x) như vậy. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên một khoảng D nếu: F "(x) = f (x), ∀x ∈ D , hay dF(x) = f (x)dx . Ví dụ 1: Vì: (sin x) " = cos x, ∀x ∈ R nên sin x là nguyên hàm của hàm số cos x trên R . ⎛ 1⎞ 1 2x Vì: ⎜ arctg x + "= + , ∀x ≠ ±1 2⎟ 1− x ⎠ 1+ x (1 − x 2 ) 2 2 ⎝ 1 1 2x trên R \ {±1} . nên: arctg x + + là một nguyên hàm của hàm số 1− x 1 + x (1 − x 2 ) 2 2 2 Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó. Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D thì: Hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) , với C là một hằng số bất kỳ. Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều viết được dưới dạng F(x) + C , trong đó C là một hằng số. Chứng minh: Giả sử C là một hằng số bất kỳ, ta có: ( F(x) + C ) " = F "(x) = f (x) với mọi x ∈ D . Theo định nghĩa F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D. Ngược lại, giả sử ϕ( x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f (x) trên khoảng D. Ta có: < F(x) − ϕ(x)> " = F"(x) − ϕ "(x) = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ D . Suy ra F(x) − ϕ(x) nhận giá trị hằng số trên khoảng D: F(x) − ϕ(x) = −C ⇔ ϕ(x) = F(x) + C, ∀x ∈ D . Như vậy biểu thức F(x) + C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) , mỗi hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm.44 Bài 3: Phép tính tích phân3.1.1.2. Tích phân bất định Định nghĩa: Tích phân bất định của một hàm số f (x) là họ các nguyên hàm F(x) + C ; với x ∈ D ; trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số bất kỳ. Tích phân bất định của f (x)dx được ký hiệu là: ∫ f (x)dx . Biểu thức f (x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f được gọi là hàm số dưới dấu tích phân. Vậy: ∫ f (x)dx = F(x) + C , với F(x) là nguyên hàm của f (x) . Ví dụ 2: ∫ cos xdx = sin x + C ∫ e dx = e + C . x x3.1.1.3. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định ⎡ f (x)dx ⎤ " = f (x) hay d f (x)dx = f (x)dx ⎣∫ ∫ ⎦ ∫ F "(x)dx = F(x) + C hay ∫ dF(x) = F(x) + C ∫ af (x)dx = a ∫ f (x)dx , ( a là hằng số khác 0) ∫ dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx . Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx trong đó α, β là các hằng số không đồng thời bằng 0 Các tính chất nói trên được chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của tích phân bất định.3.1.1.4. Các công thức tích phân cơ bản Các công thức tích phân sau đây được chứng minh bằng định nghĩa: dx x α+1 ∫ = ln x + C ∫ x dx = α + C, (α ≠ −1) x α +1 ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx dx ∫ cos = tg x + C ∫ sin = − cotg x + C 2 x 2 x ∫ e dx = e +C x x ax ∫ a dx = + C, (a > 0, a ≠ 1) x ln a dx 1 x ∫x = arctg + C a+x dx 1 +a 2 2 a a ∫a = ln +C −x 2a a − x 2 2 dx x ∫ = arcsin +C dx a a −x2 2 ∫ = ln x + x 2 + α + C x +α2 45 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.2. Các phương pháp tính tích phân bất định3.1.2.1. Phương pháp khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân cơ bản ở trên. Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển. Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định: ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx . Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản mà đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được đưa ra bên ngoài dấu tích phân. Ví dụ 3: 3 45 ∫ (2x x − 3x )dx = 2∫ x 2 dx − 3∫ x dx = x 2 − x3 + C 2 2 5 x4 ⎛ 1⎞ dx ∫⎜ 2sin x + x3 − ⎟dx = 2∫ sin xdx + ∫ x3dx − ∫ = −2cos x + − ln x + C x⎠ x 4 ⎝ ⎛1 1⎞ dx 1 ∫x = ∫⎜ 2 − dx = − + arctg x + C . 2⎟ (1 + x ) ⎝ x 1+ x ⎠ 2 2 x3.1.2.2. Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: ∫ f (u)du = F(u) + C ; trong đó Nếu: ∫ f (x)dx = F(x) + C thì u = u(x) là một hàm số khả vi liên tục. Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x. Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng: g(x)dx = f (u(x))u "(x)dx trong đó f (x) là một hàm số mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm F(x) . Khi đó tích phân cần tính trở thành: ∫ g(x)dx = ∫ f (u(x))u "(x)dx = ∫ f (u(x))du = F(u(x)) + C ( a ≠ 0 ) Trong trường hợp đơn giản u (x) = ax + b thì du = adx , do đó nếu 1 ∫ f (x)dx = F(x) + C ta suy ra: ∫ f (ax + b)dx = a F(ax + b) + C ( a ≠ 0 ) Ví dụ 4: 1 ∫ sin axdx = − a cos ax + C . ( a ≠ 0 ) eax + C ( a ≠ 0) ∫ e dx = ax a ∫e cos xdx = ∫ esin x d(sin x) = esin x + C sin x46 Bài 3: Phép tính tích phân tg 3 x dx ∫ cos4 x = ∫ (1 + tg x)d(tg x) = 3 + tg x + C 2 ) +C ( 1 1 3 ∫ x 1 + 3x dx = ∫ 1 + 3x d(1 + 3x ) = 9 1 + 3x 2 2 2 2 6 ⎛π ⎞ arccos x arcsin x I=∫ dx = ∫ ⎜ − arcsin x ⎟ arcsin xd(arcsin x) ⎝2 ⎠ 1− x2 π 1 ⇒I= arcsin 2 x − arcsin 3 x + C . 4 33.1.2.3. Phương pháp đổi biến Xét tích phân I = ∫ f (x)dx ; trong đó f (x) là một hàm số liên tục. Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép đổi biến sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản hơn. Ta chia phương pháp đổi biến làm hai trường hợp là đổi biến xuôi x = ϕ(t) và đổi biến ngược t = ψ(x) . • Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) ; trong đó ϕ( t) là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục. Khi đó ta có: I = ∫ f (x)dx = ∫ f < ϕ(t) > ϕ "(t)dt Giả sử hàm số g(t) = f < ϕ(t) > ϕ "(t) có nguyên hàm là hàm G(t) , và t = h(x) là hàm số ngược của hàm số x = ϕ(t) , ta có: I = ∫ g(t)dt = G(t) + C ⇒ I = G < h(x) > + C . • Phép đổi biến thứ hai: Đặt t = ψ(x) , trong đó ψ (x) là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm f (x) = g < ψ (x) > ψ "(x) . Khi đó ta có: CHÚ Ý : Khi tính tích phân bất định I = ∫ f (x)dx = ∫ g < ψ(x) > ψ "(x)dx . bằng phương pháp đổi biến số, sau khi tìm được nguyên Giả sử hàm số g (t) có nguyên hàm là hàm số hàm theo biến số mới, phải G (t) , ta có: đổi lại thành hàm số của biến I = G < ψ (x) > + C . số cũ. Ví dụ 5: x a) Tính tích phân: I1 = ∫ dx 2−x ⎛ π⎞ Đặt x = 2sin 2 t, t ∈ ⎜ 0, ⎟ , ta tính được: ⎝ 2⎠ dx = 4sin t cos tdt ; 47 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ 2sin 2 t x = = tg t . 2−x 2(1 − sin 2 t) x Suy ra: I1 = ∫ dx = 4 ∫ sin 2 tdt = 2t − sin 2t + C . 2−x x Đổi lại biến x, với t = arcsin , ta thu được: 2 x x I1 = ∫ dx = 2 arcsin − 2x − x 2 + C . 2−x 2 e2 x b) Tính tích phân I 2 = ∫ dx . ex + 1 Đặt e x = t ⇒ e x dx = dt , ta có: ⎛ 1⎞ t I2 = ∫ dt = ∫ ⎜1 − ⎟ dt = t − ln t + 1 + C . t +1 ⎝ t +1 ⎠ Đổi lại biến x, ta được: I 2 = e x − ln(e x + 1) + C . dx c) Tính tích phân I3 = ∫ . 1 + 4x Đặt t = 2− x ⇒ dt = −2− x ln 2dx , tích phân trở thành: −dt 1 dt 1 I3 = ∫ ∫ t 2 + 1 = − ln 2 ln(t + t + 1) + C . =− 2 ln 2 −2 t ln 2 1 + t 1 ln(2− x + 4− x + 1) + C . Đổi lại biến x, ta có: I3 = − ln 23.1.2.4. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân d(uv) = udv + vdu ⇒ uv = ∫ d(uv) = ∫ udv + ∫ vdu . Suy ra : ∫ udv = uv − ∫ vdu . Xét tích phân: I = ∫ f (x)dx . Ta cần biểu diễn: f (x)dx = < g(x)h(x)> dx = g(x) < h(x)dx > = udv và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u = g(x); v = ∫ h(x)dx . Ta thường sử dụng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứa một trong các hàm số sau đây: ln x;a x ; hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Cụ thể: • Trong các tích phân ∫ x n ekx dx; ∫ x n sin kxdx; ∫ x n cos kxdx , n nguyên dương, ta thường chọn: u = x n48 Bài 3: Phép tính tích phân ∫x α• Trong các tích phân ln n xdx , α ≠ −1 và n nguyên dương, ta thường chọn u = ln n x• Trong tích phân ∫ x n arctg kxdx; ∫ x n arcsin kxdx , n nguyên dương, ta thường chọn: u = arctg kx hoặc u = arcsin kx ; dv = x n dx .Ví dụ 6:Tính các tích phân bất định:a) I1 = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .b) I 2 = ∫ x 2 sin xdx . Đặt u = x 2 , dv = sin xdx ⇒ v = − cos x , ta được: I 2 = − x 2 cos x + 2∫ x cos xdx . Đặt u = x, dv = cos xdx ⇒ v = sin x , ta được: ( ) I2 = −x 2 cos x + 2 x sin x − ∫ sin xdx = −x 2 cos x + 2xsin x + 2cos x + C. xe x dxc) I3 = ∫ . (x + 1) 2 dx 1 Đặt u = xe x ;dv = ⇒v=− ;du = (x + 1)e x dx , ta được: (x + 1) x +1 2 xe x xe x ex + ∫ e x dx = − I3 = − + ex + C = +C. x +1 x +1 x +1 xe x dxd) I 4 = ∫ . 1 + ex e x dx Đặt 1 + e x = t ⇒ = 2dt ; ta có: 1 + ex I4 = 2∫ < ln(t − 1) + ln(t + 1)> dt = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C . Đổi lại biến x ta có: ) ( xe x dx ∫ = 2(x − 2) 1 + e x + 4 ln 1 + 1 + e x − 2x + C . 1+ e x x arcsin xe) I5 = ∫ dx . 1− x2 49 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ xdx dx Đặt u = arcsin x;dv = ⇒ du = ; v = − 1 − x 2 , ta được: 1− x 1− x 2 2 I5 = − 1 − x 2 arcsin x + ∫ dx = − 1 − x 2 arcsin x + x + C . f) I6 = ∫ e x cos 2xdx . Đặt u = cos 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = −2sin 2xdx ; ta được: I6 = e x cos 2x + 2 ∫ e x sin 2xdx . Đặt u = sin 2x;dv = e x dx ⇒ v = e x ;du = 2 cos 2xdx ; ta được: ( ) I6 = ex cos2x + 2 ex sin2x − 2∫ ex cos2xdx = ex cos2x + 2ex sin2x − 4I6 + 5C . ex ( cos 2x + 2sin 2x ) + C . Vậy: I6 = 5 Trong các mục sau đây chúng ta sẽ xét tích phân bất định của một số dạng hàm cơ bản: Hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức và trình bày một số phương pháp giải chung đối với tích phân các hàm này.3.1.3. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Định nghĩa: P(x) Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng: f (x) = , Q(x) trong đó P(x), Q(x) là các đa thức của x. Một phân thức hữu tỷ có bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số là một phân thức hữu tỷ thực sự. Bằng phép chia đa thức, chia P(x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng: r (x) f (x) = H(x) + Q(x) Trong đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư trong phép chia. r (x) Khi đó là một phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức H(x) được Q(x) tìm bởi công thức tích phân cơ bản: x n +1 ∫ x dx = + C ; n nguyên dương. n n +1 r (x) Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại trong hai trường hợp Q(x) đặc biệt: Mẫu số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai. Trong những trường hợp mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa về hai trường hợp trên.50 Bài 3: Phép tính tích phân3.1.3.1. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất Xét tích phân: P(x) ∫ ax + b dx . Trong đó P(x) là một đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân ở dạng sau: P(x) C = Q(x) + . ax + b ax + b Chúng ta sử dụng hai công thức sau để tính tích phân nói trên x n +1 dx 1 ∫ x dx = ∫ ax + b = a ln ax + b + C . + C, n ≥ 0 và n n +1 Ví dụ 7: 2x 3 x 2 x ln 2x − 1 ⎛ ⎞ 4x 3 − 2x + 1 1 1 ∫ 2x − 1 dx = ∫ ⎜ 2x 2 + x − + dx = + −+ +C. ⎟ 2 2(2x − 1) ⎠ 3 22 4 ⎝3.1.3.2. Tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc hai P(x) ∫x Xét tích phân: dx . + px + q 2 Trong đó P(x) là một đa thức. Ta biểu diễn hàm dưới dấu tích phân ở dạng sau: Mx + N P(x) = Q(x) + 2 . x + px + q x + px + q 2 M Mp Ta viết lại: Mx + N = (2x + p) + N − 2 2 Mx + N M d(x 2 + px + q) ⎛ Mp ⎞ dx ∫ x 2 + px + q dx = ∫ 2 ⎟∫ 2 +⎜N− suy ra: x + px + q 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ ⎛ Mp ⎞ M dx ⎟∫ 2 = ln x 2 + px + q + ⎜ N − . 2 ⎠ x + px + q 2 ⎝ dx Tích phân còn lại ở vế phải J = ∫ được tìm như sau : x + px + q 2 • Nếu tam thức x 2 + px + q có hai nghiệm phân biệt x1 ≠ x 2 ; ta có: ⎛1 1⎞ x−x dx 1 1 J=∫ ∫ ⎜ x − x1 − x − x 2 ⎟ dx = x1 − x 2 ln x − x 12 + C . = (x − x1 )(x − x 2 ) x1 − x 2 ⎝ ⎠ • Nếu tam thức x 2 + px + q có nghiệm kép α , ta có: dx 1 J=∫ =− +C. (x − α) x −α 2 51 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ • Nếu tam thức x 2 + px + q vô nghiệm, ta viết lại: 2 p⎞ ⎛ p2 ⎞ ⎛ x 2 + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q − ⎟ = X 2 + a 2 , (a 2 > 0) . ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ 2x + p 1 suy ra: J = arctg +C. a 2a Ví dụ 8: 2x 2 − 3x + 2 5 2x + 1 − 1 ⎛ ⎞ 5x ∫ x 2 + x + 1 dx = ∫ ⎜ 2 − x 2 + x + 1 ⎟ dx = 2∫ dx − 2 ∫ x 2 + x + 1 dx Tính tích phân: ⎝ ⎠ 5 d(x 2 + x + 1) 5 dx ∫ x 2 + x + 1 + 2 ∫ (x + 1/ 2)2 + 3 / 4 = 2x − 2 2x + 1 5 5 = 2x − ln(x 2 + x + 1) + +C arctg 2 3 33.1.3.3. Phương pháp hệ số bất định P(x) Giả sử chúng ta muốn phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng (hiệu) Q(x) của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Trước hết ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai: Q(x) = (x − α1 )a1 ...(x − α m )a m (x 2 + p1x + q1 ) b1 ...(x 2 + p n x + q n ) bn . trong đó αi , p j , q j là các hằng số, a i , b j là các số nguyên dương, 1 ≤ i ≤ m;1 ≤ j ≤ n .

Xem thêm: " Máy Đo Khoảng Cách Bằng Tia Laser Sndway Chính Hãng Giá Sốc Ở Lazada

• Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện đơn thức (x − α)a , a là số nguyên dương Ai P(x) thì trong phân tích của phân thức xuất hiện các hạng tử dạng , trong (x − α)i Q(x) đó A i là hằng số và 1 ≤ i ≤ a . • Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức (x 2 + px + q) b , b là số nguyên P(x) dương thì trong phân tích của phân thức xuất hiện các hạng tử dạng Q(x) B jx + C j , trong đó B j , C j là các hằng số và 1 ≤ j ≤ b . (x 2 + px + q) j P(x) Sau khi viết được phân tích của , ta tìm các hằng số A i , B j , C j bằng cách quy Q(x) đồng mẫu số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của x n , n ∈ ở hai vế. Ví dụ 9: Tính các tích phân bất định x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 a) I1 = ∫ dx . (x 2 + 2)(x − 1)52 Bài 3: Phép tính tích phân Chia tử số cho mẫu số ta được đa thức x và phần dư. Do mẫu số của phân thức có các nhân tử là x 2 + 2 và x − 1 nên ta viết lại phân thức ở dạng: x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 1 Bx + C 1 A =x+ 2 =x+ +2 . (x + 2)(x − 1) (x + 2)(x − 1) x −1 x + 2 2 Quy đồng mẫu số ở hai vế 3 = (A + B)x 2 + (C − B + 2)x − C Đồng nhất hệ số của x 2 , x và hệ số tự do, ta được: ⎧A + B = 0 ⎧A = 1 ⎪ ⎪ ⎨C − B + 2 = 0 ⇒ ⎨B = −1 ⎪ −C ⎪C = −1 =1 ⎩ ⎩ x 4 − x 3 + 2x 2 − 2x + 3 1 1 2x 1 =x+ − −2 Suy ra: . (x + 2)(x − 1) x −1 2 x + 2 x + 2 2 2 ln(x 2 + 2) 1 x2 x Vậy tích phân bằng: I = + ln x − 1 − − + C. arctg 2 2 2 2 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 b) I 2 = ∫ dx . (x + 1) 2 (x 2 + 2x + 3) 2x 4 + 10x 3 + 17x 2 + 16x + 5 2 1 4 = 2+ − −2 Ta viết: . (x + 1) (x + 2x + 3) x + 1 (x + 1) x + 2x + 3 2 2 2 x +1 1 Suy ra: I = 2x + 2 ln x + 1 + − 2 2 arctg +C. x +1 23.1.4. Tích phân hàm lượng giác3.1.4.1. Phương pháp chung ∫ R (sin x, cos x)dx , trong đó hàm dưới dấu tích phân là hàm số của Xét tích phân x sin x, cos x . Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát t = tg , khi đó: 2 1− t2 2t 2t 2dt sin x = ;cos x = ; tg x = ;dx = 1+ t 1+ t 1− t 1+ t2 2 2 2 Tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số của biến t . Ví dụ 10: sin x − cos x + 2 ∫ 1 + sin x + cos x dx . Tính tích phân: sin x − cos x + 2 d(1 + sin x + cos x) dx ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ∫ + 2∫ Ta viết: . 1 + sin x + cos x 1 + sin x + cos x 53 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ x Đặt t = tg , suy ra: 2 dx dt ∫ 1 + sin x + cos x = ∫ 1 + t = ln 1 + t + C . Thay lại biến cũ, ta được: sin x − cos x + 2 x ∫ 1 + sin x + cos x dx = − ln 1 + sin x + cos x + 2 ln 1 + tg 2 + C . ∫ sin m x cos n xdx , trong đó m, n là các số nguyên3.1.4.2. Tích phân dạng • Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x . • Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = sin x . • Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin 2 x = ;cos 2 x = 2 2 rồi đưa về tích phân dạng ∫ sin k 2x cos e 2xdx. Ví dụ 11: Tính các tích phân bất định a) I1 = ∫ sin 3 x cos 2 xdx Đặt cos x = t ⇒ − sin xdx = dt ; ta có: t5 t3 cos5 x cos3 x ∫ sin x cos xdx = ∫ (1 − t )t (−dt) = − +C = − +C. 3 2 22 53 5 3 b) I 2 = ∫ sin 4 x cos 2 xdx Sử dụng công thức hạ bậc ta có: (1 − cos 2x)2 1 + cos 2x 1 dx = ∫ (1 − cos 2x − cos2 2x + cos3 2x ) dx I2 = ∫ 4 2 8 1 + cos 4x 1⎛ ⎞ sin 2x 1 −∫ dx + ∫ (1 − sin 2 2x)d(sin 2x) ⎟ ⇒ I2 = ⎜ x − 8⎝ 2 2 2 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 2x sin 3 2x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + − ⎟+C. 8⎝ 2 2 8 2 6⎠ Đối với tích phân I 2 sau khi sử dụng công thức hạ bậc lần thứ nhất ta cũng có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân bởi công thức: 3sin x − sin 3x 3cos x + cos 3x sin 3 x = ;cos3 x = . 4 454 Bài 3: Phép tính tích phân Áp dụng vào tích phân I 2 , ta có: 1 + cos 4x 3cos 2x + cos 6x ⎞ 1⎛ ∫ ⎜1 − cos2x − 2 + I2 = ⎟ dx 8⎝ 4 ⎠ 1 ⎛ x sin 2x sin 4x sin 6x ⎞ ⇒ I2 = ⎜ − − + ⎟+C. 8⎝ 2 8 8 24 ⎠ Trong trường hợp tổng quát sau khi sử dụng công thức hạ bậc, có thể xuất hiện các tích phân dạng: ∫ sin ax cos bxdx; ∫ cos ax cos bxdx; ∫ sin ax sin bxdx với a ≠ b . Các tích phân dạng này có thể tính dễ dàng bằng cách biến đổi tổng như sau: 1 ∫ sin ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ cos(a + b)x cos(a − b)x ⎤ =− ⎢ + +C. a−b ⎥ 2⎣ a+b ⎦ 1 ∫ cos ax cos bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a + b)x sin(a − b)x ⎤ = + +C. 2⎢ a+b a−b ⎥ ⎣ ⎦ 1 ∫ sin ax sin bxdx = 2 ∫ dx 1 ⎡ sin(a − b)x sin(a + b)x ⎤ = − + C. 2⎢ a−b a+b ⎥ ⎣ ⎦ ∫ R(sin x, cos x)dx Khi tích phân có thêm những tính chất đặc biệt, ta có thể sử dụng các phép đổi biến như sau: Đặt t = cosx nếu R (–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx). . Đặt t = sinx nếu R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx). Đặt t = tgx nếu R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) .Ví dụ 12: dx ∫ sin x cosTính tích phân: 4 xĐặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx , ta có: ⎡1 1 1⎤ −dt 1 1 1 t +1 dx 1∫ sin x cos =∫ = ∫⎢ 4 − 2 − + ⎥ dt = − 3t 3 − t + 2 ln t − 1 + C (1 − t )t 2(t − 1) 2(t + 1) ⎦ 4 24 x ⎣t t 1 1 + cos x dx 1 1⇒∫ =− − + ln +C 3cos x cos x 2 1 − cos x 4 3 sin x cos x 55 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1.5. Tích phân hàm chứa căn thức ∫ R(x, ∫ R(x, α 2 ± x 2 )dx , x 2 − α 2 )dx , trong đó R(u, v) là Xét tích phân có dạng các hàm số hữu tỷ. • Đặt x = α tg t đối với tích phân ∫ R(x, α 2 + x 2 )dx . • Đặt x = α sin t hoặc x = a cos t đối với tích phân ∫ R(x, α 2 − x 2 )dx . α α đối với tích phân ∫ R(x, x 2 − α 2 )dx . • Đặt x = hoặc x = cos t sin t Ví dụ 13: Tính các tích phân sau: 3 − ∫ (1 − x 2 a) ) dx . 2 ⎛ π π⎞ Đặt x = sin t, t ∈ ⎜ − , ⎟ ⇒ dx = cos tdt, 1 − x 2 = cos t , và ⎝ 2 2⎠ 3 dt − ∫ (1 − x ) dx = ∫ = tg t + C = tg(arcsin x) + C . 2 2 cos 2 t dx ∫x b) . 1+ x2 2 ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ dt Đặt x = tg t ⎜ t ∈ ⎜ − , ⎟ ⎟ ⇒ dx = , ta có: cos 2 t ⎝ ⎝ 2 2 ⎠⎠ dx cos tdt 1 1 ∫x =∫ =− +C = − +C. 2 sin t sin t sin(arctg x) 1+ x2 23.2. Tích phân xác định3.2.1. Khái niệm tích phân xác định. Điều kiện khả tích3.2.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn < a, b > và giả sử f (x) không âm trên đoạn đó. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x) ( x ∈ < a, b > ); các đường thẳng x = a, x = b và trục Ox. Tính diện tích S của hình thang cong AabB. Ta chia đoạn < a, b > thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: x 0 ≡ a Bài 3: Phép tính tích phân chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ A i x i x i +1A i +1 . Ta có thể xấp xỉ diện tích của mỗi hình thang cong nhỏ đó bởi diện tích của hình chữ nhật có cùng đáy dưới và chiều cao f (ξi ) , trong đó ξi là một điểm bất kỳ nằm giữa x i và x i +1 . Gọi Si là diện tích của hình thang cong nhỏ thứ i, ta có: Si ≈ f (ξi )(x i +1 − x i ) = f (ξi )Δx i . Vậy diện tích S của hình thang cong AabB có thể xấp xỉ bởi công thức: n −1 S ≈ ∑ f (ξi )Δx i . i=0 Tổng ở vế phải được gọi là tổng tích phân ứng với phân hoạch π và cách chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > . Khi số điểm chia n lớn lên vô hạn và độ dài các đoạn chia Δx i nhỏ dần thì cạnh trên của hình chữ nhật thứ i càng sát với hình dáng của đồ thị của f (x) trên đoạn < x i , x i+1 > , phép xấp xỉ diện tích S bởi tổng diện tích các hình chữ nhật nói trên càng chính xác. Khi n tiến ra vô cùng, giới hạn của tổng ở vế phải chính là diện tích S của hình thang cong AabB: S = lim σ (3.1) n →∞ Trong toán học, giới hạn ở vế phải trong những ràng buộc nhất định được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) trên đoạn < a, b >3.2.1.2. Định nghĩa tích phân xác định Định nghĩa: Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn < a, b > . Phân hoạch đoạn < a, b > bởi các điểm chia x 0 ≡ a Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ Với một phân hoạch π bất kỳ của đoạn < 0,1> và cách chọn điểm ξi ∈ < x i , x i +1 > , ta lập tổng tích phân: n −1 n −1 σ = ∑ f (ξi )Δx i = C∑ Δx i = C . i=0 i=0 Theo định nghĩa tích phân xác định, ta có 1 ∫ Cdx = lim σ = C . max Δx i → 0 0 CHÚ Ý : Tích phân xác định của một hàm số khả tích f (x) trên đoạn < a, b > là một số xác định, do đó tích phân không phụ thuộc vào ký hiệu của biến số dưới dấu tích phân b b b ∫ f (x)dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t)dt = ... a a a3.2.1.3. Điều kiện khả tích Ta thừa nhận các định lý sau về tính khả tích của các hàm số. Định lý 1: Điều kiện cần để một hàm số f (x) khả tích trên đoạn < a, b > là nó bị chặn trên đoạn đó. Định lý 2: Một hàm số f (x) xác định trên đoạn < a, b > khả tích trên đoạn đó nếu nó thoả mãn một trong các điều kiện sau đây: f (x) liên tục trên đoạn < a, b > . • f (x) đơn điệu và bị chặn trên < a, b > . • f (x) bị chặn và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn trên < a, b > . • CHÚ Ý : Từ định lý 2 khi đã biết hàm số f (x) khả tích trên đoạn < a, b > thì giới hạn của tổng tích phân không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn < a, b > và cách chọn điểm ξi . Do đó khi tính tích phân xác định của một hàm khả tích bằng định nghĩa, ta thực hiện việc chia đều đoạn < a, b > , và chọn điểm ξi trùng với một trong hai đầu mút của đoạn < x i , x i +1 > , (với 0 ≤ i ≤ n − 1 ). Khi đó ta có i(b − a) b−a xi = a + ; Δx i = ; ξi = x i hoặc ξi = x i +1 n n58 Bài 3: Phép tính tích phân Ví dụ 15: 1 Tính tích phân ∫ x 2 dx . 0 Dễ thấy hàm số f (x) = x 2 liên tục và do đó khả tích trên đoạn < 0,1> . Phân hoạch đoạn <0,1> bởi các điểm chia i 0 ≡ x 0 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ b c b ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . a a c • Tính chất tuyến tính của tích phân xác định b b b ∫ <αf (x) + βg(x)> dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g(x)dx a a a trong đó α, β là các hằng số và f (x);g(x) là các hàm số khả tích trên đoạn < a, b > . • Giả sử f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên đoạn < a, b > và f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ < a, b > , ta có : b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx . a a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f (x) = g(x) với mọi x ∈ < a, b > • Nếu f (x) khả tích trên đoạn < a, b > thì hàm số f (x) cũng khả tích trên đoạn đó và b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ f (x) dx . a a • Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn < a, b > thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ < a, b > sao cho : b ∫ f (x)dx = f (c)(b − a) . a3.2.2. Công thức đạo hàm theo cận trên Giả sử f (x) là một hàm số liên tục trên đoạn < a, b > . Khi đó f (x) cũng khả tích trên đoạn < a, x > với x là một điểm bất kỳ thuộc đoạn < a, b > . x Xét hàm số: Φ (x) = ∫ f (t)dt, x ∈ < a, b > . a Hàm số Φ ( x) được gọi là hàm cận trên. Định lý: Nếu f (x) là hàm số liên tục trên đoạn < a, b > thì hàm cận trên Φ ( x) là hàm khả vi liên tục trên đoạn đó, và với mọi điểm x ∈ < a, b > ta có: ⎛x ⎞ Φ "(x) = ⎜ ∫ f (t)dt ⎟ " = f (x) . ⎝a ⎠ Nhận xét: Công thức nói trên cho ta thấy hàm cận trên Φ ( x) là một nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân f (x) trên đoạn < a, b > . Và như vậy mọi hàm số liên tục đều có nguyên hàm.60 Bài 3: Phép tính tích phân3.2.3. Công thức Newton – Leibnitz b ∫ f (x)dx = F(x) b = F(b) − F(a) a a trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số liên tục f (x) . Công thức Newton – Leibnitz cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm số đó. Chứng minh: Do hàm cận trên Φ ( x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn < a, b > nên ta có F(x) = Φ (x) + C . Thay x = a ta có: F(a) = Φ (a) + C = C . x Suy ra: ∫ f (t)dt = Φ (x) = F(x) − C = F(x) − F(a) . a b Thay x = b ta được: ∫ f (t)dt = F(b) − F(a) . a Ví dụ 16: Tính các tích phân xác định: 2 a) I1 = ∫ x − 1 dx . 0 Ta thấy rằng tích phân của hàm số f (x) = x − 1 không suy ra trực tiếp được từ bảng các tích phân cơ bản, do đó ta cần khử được dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân. Do đó ta chia đoạn lấy tích phân thành hai đoạn: Trên đoạn <0,1> hàm số f (x) = 1 − x , trên đoạn <1, 2> hàm số f (x) = x − 1 . Sau đó dùng công thức Newton – Leibnitz ta tính được tích phân: 1 2 ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ 1 2 I1 = ∫ (1 − x)dx + ∫ (x − 1)dx = ⎜ x − ⎟ + ⎜ − x ⎟ = 1 . 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎝ ⎠1 0 1 0 b) I 2 = ∫ x arctg(x + 1)dx . −1 Ta tìm một nguyên hàm của hàm dưới dấu tích phân ⎛ x2 ⎞ x2 1 x 2 dx F(x) = ∫ x arctg xdx = ∫ arctg xd ⎜ ⎟ = arctg x − ∫ . 2 1+ x2 ⎝2⎠ 2 x2 1 Suy ra F(x) = arctg x − (x − arctgx) và theo công thức Newton – Leibnitz: 2 2 0 π−2 ∫ x arctg(x + 1)dx = F(0) − F(−1) = . 4 −1 61 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.2.4. Các phương pháp tính tích phân xác định Ta đã biết công thức Newton – Leibnitz cho phép tính tích phân xác định khi đã biết nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân, do đó các phương pháp tính tích phân bất định đều được sử dụng để tính tích phân xác định như là: Phương pháp khai triển, biến đổi vi phân, đổi biến và tích phân từng phần. Tuy nhiên khi dùng phương pháp đổi biến, ta không cần phải đổi lại biến ban đầu mà chỉ cần tính lại cận tích phân tương ứng. Sau đây trình bày lại hai cách đổi biến đối với tích phân xác định, và công thức tích phân từng phần.3.2.4.1. Phương pháp tích phân từng phần b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b a a trong đó u (x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Phương pháp này được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có chứa các hàm số a x , e x , ln x , các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược. Ví dụ 17: 1 Tính tích phân: I = ∫ xe3x dx . 0 ⎧du = dx ⎧u = x ⎪ ⇒⎨ Đặt: ⎨ e3 x dv = e3x dx ⎪ v = ⎩ ⎩ 3 1 1 2e3 + 1 xe3x e3 1 1 1 − ∫ e3x dx = − e3x = suy ra: I = . 3 0 30 39 9 03.2.4.2. Phương pháp đổi biến b Giả sử ta cần tính tích phân ∫ f (x)dx , trong đó f (x) là hàm số liên tục trên đoạn < a, b > . a • Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x = ϕ(t) , trong đó: Hàm số ϕ( t) xác định, liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn < α, β> ϕ(α) = a, ϕ(β) = b . Khi t biến thiên trong đoạn < α, β> hàm số x = ϕ(t) nhận giá trị tương ứng trong đoạn < a, b > . β β b ∫ f (x)dx = ∫ f <ϕ(t)> ϕ "(t)dt = ∫ g(t)dt . Khi đó: α α a • Phép đổi biến thứ hai: Đặt t = ϕ(x) , trong đó:62